Az integrálszámítás alaptétele
Ha az f függvénynek van elemi függvényként megadható primitív függvénye, akkor a határozott integrál ennek segítségével könnyen kiszámítható. A kiszámítás alapja a Newton-Leibniz tétel. A tételt a Lagrange-tétel felhasználásával bizonyítjuk. Ezért elõzõleg átismételjük az utóbbi tételt.
Lagrange-tétele
Tétel. (Lagrange tétele)
Ha az
zárt intervallumon folytonos és
az ( a,b ) nyílt intervallumon differenciálható,
akkor az ( a,b ) intervallumban van olyan amelyre
.
Másképp jelölve
=
A tétel szerint a feltételeket teljesítõ f függvény esetén van az (a,b) intervallumban olyan hely, ahol a függvény változási sebessége egyenlõ az
intervallumbeli átlagos változási sebességgel. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az adott pontbeli érintõ párhuzamos az intervallum végpontjaihoz tartozó szelõvel.
Az alábbi Langrange eljárás a Langrange tételt állítását szemlélteti. A feltételek teljesülése esetén ábrázolja a szelõt és a vele párhuzamos érintõt, egyébként pedig hibaüzenetet küld.
> | restart: |
> | Lagrange:=proc(f,a,b)
local abra1,abra2, vonal1, vonal2, xi, szelo: if not(iscont(f(x),x=a..b,'closed')) then ERROR(`Nem folytonos az [a,b] zárt intervallumon`): fi: if not(iscont(D(f)(x),x=a..b)) then ERROR(`Nem deriválható az (a,b) nyílt intervallumon`); fi: xi:=fsolve(D(f)(x)=(f(b)-f(a))/(b-a),x=a..b); abra1:=plot(f(x),x=a-0.1..b+0.1,color=blue): abra2:=plot(D(f)(xi)*(x-xi)+f(xi),x=xi-2..xi+2,color=red,thickness=2): vonal1:=plottools[line]([a,0],[a,f(a)],color=green,linestyle=3): vonal2:=plottools[line]([b,0],[b,f(b)],color=green,linestyle=3): szelo:=plot((f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)+f(a),x=a..b,color=magenta): plots[display]([vonal1,vonal2,szelo,abra1,abra2]) end: |
Hívjuk meg a Lagrenge eljárást a sin függvénnyel, a vizsgált intervallum legyen [-4,3] . Megjegyezzük, hogy a eljesíti a Lagrange tétel feltételeit, hiszen a színusz függvény a valós számos halmazán deriválható és így ott folytonos is.
Javasoljuk kipróbálni más intervallumokon a Langrange eljárást. Ehhez csak az alábbi utasításban szereplõ intervallum végpontokat kell megvaltoztatnunk és újra végrehajtani az utasítást (értsd. leütni az Enter billentyût).
> | Lagrange(sin,-4,3); |
Az eljárás szakaszonként adott ( piecewise ) függvényekre is alkalmazható:
> | g:=x->piecewise(x<=0,-x*sin(x),x*sin(x)); |
> | Lagrange(g,-2,3); |
Tekintsünk egy példát arra az esetre, amikor a feltételek valamelyike nem teljesül:
Példa
Vizsgáljuk meg, hogy teljesülnek-e a Lagrange-tétel feltételei az
függvényre!
Megoldás
Vegyük föl a szakaszonként adott függvényt!
> | f:=x->piecewise(x<=5,-x^2+8*x-14,x>5,x^2-7*x+11); |
> | 'f(x)'=f(x); |
Ábrázoljuk a függvényt és deriváltját közös koordinátarendszerben:
> | plot([f(x),D(f)(x)],x=4..6,discont=true,color=[blue,red],thickness=2,legend=["f(x)","D(f)(x)"]); |
A függvény folytonos az intervallumon, az
helyen azonban nem differenciálható.
> | iscont(f(x),x=4..6); |
> | iscont(D(f)(x),x=4..6); |
> | Lagrange(f,4,6); |
Error, (in Lagrange) Nem deriválható az (a,b) nyílt intervallumon
A következõ utasítássorozat különbözõ intervallumok egymásutánján animációval szemlélteti a Langrange tétel állítását.
> | f:=x->sin(x)+cos(2*x); |
> | p:=seq(Lagrange(f,-4,4.6-k*0.2),k=0..12): |
> | plots[display]([p],insequence=true); |
> |
Newton-Leibniz tétel
Tétel
Ha az
intervallumon integrálható (létezik határozott integrálja) és ezen az intervallumon primitív függvénye is van ( legyen ezek egyike
), akkor
Bizonyítás
Tekintsük az intervallum tetszõleges beosztását. Tekintve, hogy a F függvény a
primitív függvénye az
intervallumon, F deriválható az
intervallumon, és annak bármely részintervallumán, s
(
'(x)=
). Ha a függvény deriválható, akkor folytonos. Ezért az F függvényre az
bármely
részintervallumán érvényes Lagrange tétele, tehát az
intervallumnak van olyan belsõ
pontja, amelyre:
=
,
ahol .
Vegyük a Lagrange-tétel által meghatározott közelítõ összegeket, vagyis minden egyes részintervallumban a kiválasztott változóérték legyen a Lagrange tételben szereplõ
:
=
(
) =
=
= () + (
) + . . . + (
) + (
) = (
)=
=
Tehát kaptuk, hogy
=
Ez azt jelenti, hogy az imént, Lagrange tétele alapján adódott speciális integrálközelítõ összegek azonosan egyenlõk az értékkel, tehát nyílván a határértékük is egyenlõ
-val. De mi a helyzet más közelítõ összegek választása esetén? Tudjuk, a feltétel szerint az f függvény integrálható az
intervallumon, tehát tetszõleges -a határozott integrál definíciójában szereplõ feltételeket kielégítõ- integrálközelítõ összegeinek sorozata ugyanahhoz a számhoz konvergál. Az elõbbiek szerint ez a szám éppen
.
Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük.
Példák
1. Példa
Számítsuk ki a következõ integrál értékét
Megoldás
Az függvény egyik primitív függvénye az
függvény. Ezért
> | a:='a':b:='b': |
> | F:=x^3/3; |
> | Int(x^2,x=a..b)=subs(x=b,F)-subs(x=a,F); |
A Maple-lel közvetlenül kiszámítva:
> | Int(x^2,x=a..b)=int(x^2,x=a..b); |
2. Példa
Számítsuk ki a következõ integrál értékét
Megoldás
1. Megoldás
Elõször, parciális integrálással meghatározunk egy primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt.
> | x:='x': |
> | with(student): |
> | Int(x*sin(x),x)=intparts(Int(x*sin(x),x),x); |
> | lhs(%)=value(rhs(%)); |
Képezzük ezután az kifejezést. Helyettesítsünk a primitív függvényben az x helyére
-at, majd 0-t, s képezzük az így nyert két érték különbségét!
> | Int(x*sin(x),x = 0 .. 2*Pi/3)=subs(x=2*Pi/3,rhs(%))-subs(x=0,rhs(%)); |
> | lhs(%)=value(rhs(%)); |
2. Megoldás
A parciális integrálás módszerét határozott integrál kiszámítására is alkalmazhatjuk:
> | Int(x*sin(x),x=0..2*Pi/3)=intparts(Int(x*sin(x),x=0..2*Pi/3),x); |
> | lhs(%)=value(rhs(%)); |
3. Megoldás
A Maple az integrál értékét közvetlenül is megadja:
> | Int(x*sin(x),x=0..2*Pi/3)=int(x*sin(x),x=0..2*Pi/3); |
3. Példa
Számítsuk ki az alábbi integrált
Megoldás
Próbáljuk elõször a Maple segítségével megadni az integrál pontos értékét!
> | Int(sqrt(ln(x+sqrt(1+x^2))/(1+x^2)),x=0..2); |
> | value(%); |
A Maple közvetlenül nem tudja kiszámítani az integrál értékét. Próbáljunk segíteni! Nézzük a gyök alatti kifejezés számlálójának deriváltját!
> | Diff(ln(x+(1+x^2)^(1/2)),x)=diff(ln(x+(1+x^2)^(1/2)),x); |
Egyszerûsítsük a deriváltat!
> | Diff(ln(x+(1+x^2)^(1/2)),x)=simplify(diff(ln(x+(1+x^2)^(1/2)),x)); |
A derivált éppen az integrandus nevezõje. Célszerû tehát a helyettesítés. A changevar eljárást a határozott integrál kiszámításakor is alkalmazhatjuk. Ekkor a helyettesítés során a határok is transzformálódnak, nem kell visszatérnünk az eredeti változóra. Elsõ lépésként elvégezzük a helyettesítést:
> | Int(sqrt(ln(x+sqrt(1+x^2))/(1+x^2)),x=0..2)=changevar(t=ln(x+(1+x^2)^(1/2)),Int(sqrt(ln(x+sqrt(1+x^2))/(1+x^2)),x=0..2),t); |
Számítsuk ki az integrál értékét:
> | lhs(%)=value(rhs(%)); |
Az integrál értéke közelítõleg
> | lhs(%)=evalf(rhs(%)); |
> |