Diagnosztika A jelfeldolgozás alapjai Dr. Katona Tamás János A diagnosztika logikája .. a degradálódó szerkezetek, kritikus helyek és degradációs folyamatok, s a degradáció következményeinek azonosítása, .. a degradáció mértékét, vagy a funkció-vesztést jellemző paraméterek meghatározása, .. a folyamatok monitorozása, trendfigyelés, kritériumok .. a megkövetelt állapottól való eltérés megállapítása, intézkedés (javítás, csere), .. a hibaok meghatározása, .. visszacsatolás 4/7/13 2 Bevezetés, fogalmak .. Jel – információ-áramlás; modellezhető, mint hely vagy idő függvénye .. Értelmezési tartománya és érték-készlete szerint lehet skaláris, vektor; .. Lehet: . Analóg - folyamatos . Digitális – diszkrét, digitális .. Analóg jel digitalizálható (AD konverter, mintavételi tétel) 4/7/13 3 Bevezetés, fogalmak .. Fizikai tartalma, értelme szerint: . Gyorsulás, sebesség, elmozdulás (alakváltozás) . Nyomás, hőmérséklet, stb. .. Természete szerint: . Determinisztikus: .. Periodikus .. Harmonikus .. Nem harmonikus .. Kvázi-periodikus .. Nem periodikus . Véletlen = sztochasztikus = „random” .. stacionárius, vagy .. nem stacionárius 4/7/13 4 f (t ) = f (t + nT ) f (t ) = Asin(.t +. ) . = 2. f = 2. /T f (t ) = A0 + Ai sin(n.0t ) i=1 n. + Bi cos(n.0t ) f (t) = A0 + Ai sin(.i t + .i ) i=1 n. A JEL LEHET DETERMINISZTIKUS PERIODIKUS HARMONIKUS ÁLTALÁNOS NEM PERIODIKUS KVÁZI-PERIODIKUS TRANZIENS SZTOCHASZTIKUS STACIONÁRIUS NEM STATICIONÁRIUS f (t ) = f (t +. ) Asin(.t +. ) A0 + Ak cos(.kt +.k k=1 .. .k =.0k .k ..0k A0 + Ak cos(.kt +.k k=1 .. A zaj .. zaj . Nem kívánt, szándékolatlan zavar a mérőérzékelő, átviteli, stb. rendszerekben . A vizsgált rendszer természetéből is eredhet . Ismeretelméleti probléma (Az a zaj, amit nem tudunk leírni?) .. Típusok: fehér-zaj, sörét-zaj (az áram véletlen fluktuációja, lévén az áram nem folyamatos, hiszen az elektronok töltése diszkrét), stb. 4/7/13 6 Az információ-átvitel sémája 4/7/13 7 forrás távadó a jel a zajforrás a fogadott jel a vevő jel fogadó A jel .. jel=információ-áram + zaj .. Alkalmazástól függően az érzékelt jel bármelyik összetevője lehet hasznos; .. zene (harmonikus jel átvitele) esetében a zaj nem hasznos, szűrés, csillapítás szükséges .. Mechanikai rendszerekben a zaj valamilyen rendellenesség következménye, a diagnosztika alapja lehet .. Általánosságban a jelet véletlen folyamatként célszerű kezelni 4/7/13 8 A jelfeldolgozás/elemzés .. Időtartományban . DC, AC összetevő . Jel-erősség, alak, teljesítmény . Zaj-szint, zaj-teljesítmény . Jel-zaj viszony . Szűrés .. Frekvencia-tartományban . Periodikus/harmonikus összetevők . Fourier-analízis .. A zajok elemzése .. Véletlen folyamatok elemzése 4/7/13 9 A jelfeldolgozás/elemzés .. Az analóg jel elemzése .. Analóg-digitális átalakítás .. A digitális jel elemzése 4/7/13 10 Jelfeldolgozás az időtartományban 4/7/13 11 Az analóg jel elemzése: jel-szint, jel teljesítmény 4/7/13 12 A=A(DC)+A(AC) „egyenáram”- várható érték váltakozó Jel-teljesítmény jel zaj = A jelre általában érvényes négyzetes integrálhatóság – azaz a véges jelteljesítmény 2 v(t ) t1 t2. dt < . Autokorreláció Keresztkorreláció Jel-jellemzők: idő-tartomány .. Várható (közép) érték .. Effektív érték vagy RMS .. Formatényező .. Csúcstényező 4/7/13 14 µ. = lim T›. 1 T x(t )dt 0 T . RMS = lim T›. 1 T x2 (t)dt 0 T . kf = RMS µ kcs = Umax RMS R(. ) = E{x(t )x(t +. )} Cxy (. ) = E{x(t )y(t +. )} x(t ) = lim T›. 1 T f (t )dt -T 2 T 2. x2 (t ) = lim T›. 1 T f 2 (t )dt -T 2 T 2. x(t ) = A . sin.tidt = 2A . 0 .. x2 (t ) = A2 . 1 2 (1- cos 2.t ) dt = A2 2 0 .. Jel jellemzői Jelteljesítmény 4/7/13 16 Nemszínuszos jelek jellemzői 4/7/13 17 2-10. ábra. Egy gyakran használt abszolút középérték képz.. áramkör Jel Ua (abszolút közép érték) Ueff (effektív érték = RMS) a eff f U U k .. (formatényez..) eff p cs U U k .. (csúcstényez..) Up .. 2 2 Up 1,11 2 2 .. .. 2 p U p U 1 1 T U t p T U t p T t 1 T t 1 2 Up 3 Up 3 2 3 Up .. 2 2 Up 1.11 2 2 .. .. 2 2-1. táblázat Nem szinuszos jelek korrekciós tényez..i Váradiné dr. Szarka Angéla Dr. Heged..s János Bátorfi Richárd Unhauzer Attila MÉRÉSTECHNIKA RMS – root mean square (a négyzetes középérték négyzetgyöke) 4/7/13 18 Ha a jel xi diszkrét Ha f(t) folyamatos egy intervallumban Mi látható az analóg jel jellemzőiből? .. A változás . a maximális amplitúdóban, . a teljesítményben, . az időjel lefutásában, . a jel-zaj viszonyban .. Mire következtethetünk? . A gép egyenletes futására . Felületen jelentkező meghibásodások miatti akadozásra . Rések, illesztések, kötések, stb. megváltozása 4/7/13 19 FELADAT A decibel-skála értelmezése 4/7/13 20 Digitalizálás, mintavétel, digitális jel feldolgozása 4/7/13 21 Digitális-jelfeldolgozás .. Analóg-digitális átalakítás .. Mintavételezés, Nyquist-Shannon tétel .. Feldolgozás . Időben .. Analóg jel amplitúdó és teljesítmény-jellemzők, jel-zaj jellemzők .. szűrés .. Autokorrelációs elemzés .. Keresztkorreláció-elemzés . Frekvencia-térben .. Frekvencia-spektrum – a jel Fourier-transzformáltja .. Autóspektrum – az autokorrelációs függvény Fourier-transzformáltja .. Kereszt-spektrum – a keresztkorreláció függvény Fourier-transzformáltja 4/7/13 22 Nyquist-Shannon mintavételi tétel .. Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon: Ha mintavételezünk egy jelet (azaz analógból digitálissá alakítjuk), akkor a mintavételi frekvenciának minimum kétszeresének kell lenni a jel sávszélességénél: 2B < Fs .. Az x(t) analóg jel sávszélessége (0-B Hz) legyen. A jel az x(n) = x(nT) mintákból rekonstruálható, ha a mintavétel frekvenciája nagyobb, mint 2B (Nyquist frekvencia); Ha időben fejezzük ki, akkora mintavételek közötti T időintervallumnak kisebbnek kell lenni, mint 1/2B. 4/7/13 23 Mintavételi tétel 4/7/13 24 Hány pontban kell mintát venni ahhoz, hogy egy hullámot helyesen (pontozott), vagy hamisan (folyamatos) reprezentáljunk. 4/7/13 25 Mintázott jel - aliasing A mintázott jel p(t) = . t - mTs ( ) m=-. .. = . t - m fs . . . . . . m=-. .. xs (t) = x(t) p(t) = x(t) . t - mTs ( ) m=-. .. = x mTs ( ). t - mTs ( ) m=-. .. Digitális jelek jellemzőinek kiszámítása Spektrum, spektrális analízis 4/7/13 29 4/7/13 30 Spektrum (főnév) analízis Newton vezette be a fogalmat a latin spectrum = kép spektrális (jelző) analízis Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) Tudománytörténeti előzmények .. Időmérés, Hold-ciklus és Nap-ciklus .. Pithagoras, i.e. 600 a harmónia szabályai .. Taylor-sor analítikus függvény .. Daniell Bernoulli, a hullámegyenlet megoldása vajon érvényes-e bármely, pl. nem analitikus kezdeti feltételekre .. Jean Babtiste Joseph de Fourier (1807!), sorfejtés nem csak analitikus függvényre 4/7/13 31 A fejlődés csúcsai .. Sturm és Liouville, 1836, tetszőleges ortogonális függvényre .. Heisenberg, Schrödinger, 1925-1926, kvantum mechanika .. Neuman János, Hilbert-tér .. Wiener, 1942, Brown-mozgás .. Tukey, 1949, empirikus spektrum-analízis .. Cooley-Tukey, 1965, FFT .. Információ-elmélet (Burg, Box-Jenkins, Parzen, és még sokan mások) 4/7/13 32 Spektrum-analízis – előzmények a fizikában .. Newton, prizmakísérlet, fény diszperziója, fehér-fény, teljes spektrum .. Bunsen, a Na sárga vonala: Folyamatos spektrum, vonalas spektrum .. Hullámegyenlet megoldása és a nem analitikus függvények sorfejtése 4/7/13 33 Spektrális analízis: előzmények a matematikában – a Taylor-sor Analitikus függvény sorfejtése a környezetében 4/7/13 34 Egydimenziós hullámegyenlet (a húr mozgásegyenlete) 4/7/13 35 = = = peremfeltétel kezdeti feltételek a függvényre és a deriváltra 4/7/13 36 Megoldás a változók szerinti szeparációval a megoldások 4/7/13 37 peremfeltételek kezdeti feltételek A megoldás végtelen sorban, ahol nem használtuk ki, hogy a kezdeti feltételek analitikus függvények 4/7/13 38 Ahogy a húr egyenletének megoldása, úgy bármely (csaknem) függvény felírható a fenti alakban! Fourier-transzformáció 4/7/13 39 = = 4/7/13 40 = = Fourier-transzformáció 4/7/13 41 function Fourier transform--1 1 Fourier transform--Cosine Fourier transform--Delta function Fourier transform--Exponential function Fourier transform--Gaussian Fourier transform--Heaviside step function Fourier transform--Inverse function Fourier transform--Lorentzian function Fourier transform--Ramp function Fourier transform--Sine Néhány függvény Fourier-transzformáltja Frekvencia spektrum Frekvenciaspektrum, amplitúdóspektrum, fázis-spektrum F . ( ) = F . ( ) ei. . ( ) A . ( )sin .t +. . ( ) .. .. A . ( )cos .t +. . ( ) .. .. F . ( ) = . A . ( ) négyszögimpulzus F . ( ) = 2 sin .t0 ( ) . F . ( ) = 2 sin .t0 ( ) . Frekvencia spektrum – diszkrét jel .. Legyen x(t) a az időjel a [0, T] intervallumban .. Vegyünk n mintát dt=T/n lépésekben, a mintavételi frekvencia f = 1/dt. .. Legyenek xk = x(tk) = x(k dt) a diszkrét értékek .. Az x(t) jel valós, s nem törődünk a fázisinformációval, a diszkrét Fouriertranszformáció az Euler formula szerint az alábbi lesz: 4/7/13 44 Frekvencia spektrum 4/7/13 45 Néhány szabály GYAKORLATI SPEKTRÁLANALÍZIS Frekvencia spektrum – diszkrét jel .. Legyen x(t) a az időjel a [0, T] intervallumban .. Vegyünk n mintát dt=T/n lépésekben, a mintavételi frekvencia f = 1/dt. .. Legyenek xk = x(tk) = x(k dt) a diszkrét értékek .. Az x(t) jel valós, s nem törődünk a fázisinformációval, a diszkrét Fouriertranszformáció az Euler formula szerint az alábbi lesz: Diszkrét Fourier transzformáció FFT .. A Fourier transzformáció pedig igen sok szorzást igényel: a mátrix koncepcióból eléggé nyilvánvalóan következik, hogy N2 szám transzformációjához szorzás szükséges. .. Egy 1000 mérési pontot tartalmazó adatsor DFT-je tehát egymillió szorzást igényel. .. A Fourier transzformáció számítási idejét az 1965-ben Cooley és Tukey (CT) amerikai matematikusok által kidolgozott algoritmus csökkentette radikálisan. .. 1978-ban pedig Winograd lépett elő egy új eljárással. .. A CT - Fast Fourier Transmormation alapgondolata eléggé kézenfekvő: .. N pont DFT-jeszorzást igényel. .. Ha az adatokat két egyforma részre bontjuk, akkor a két rész külön-külön transzformációjaszorzásba kerül. .. Ha a két transzformáció részeredményei könnyen összekombinálhatók, akkor érdemes ezt az utat választani. .. Az is nyilvánvaló, hogy N-et célszeru 2 egész kitevőjű hatványának választani, hogy a szorzás-spórolás jótéteményébol többszörösen részesedhessünk. A mintázott jel és spektruma p(t ) = . t - mTs ( ) m=-. .. = . t - m fs . . . . . . m=-. .. xs (t ) = x(t ) p(t ) = x(t ) . t - mTs ( ) m=-. ..= x mTs ( ). t - mTs ( ) m=-. .. Xs . ( ) = X . ( )*P . ( ) Időben korlátozott minták, periodikus kiterjesztés 4/7/13 52 Hogyan vegyük figyelembe, hogy a tartomány véges? Ki kell tölteni. Ablakfüggvény. Időben korlátozott minták X . ( )*F . ( ) négyszögimpulzus F . ( ) = 2 sin .t0 ( ) . F . ( ) = 2 sin .t0 ( ) . A mintázott jel és spektruma p(t ) = . t - mTs ( ) m=-. .. = . t - m fs . . . . . . m=-. .. xs (t ) = x(t ) p(t ) = x(t ) . t - mTs ( ) m=-. ..= x mTs ( ). t - mTs ( ) m=-. .. Xs . ( ) = X . ( )*P . ( ) = X . ( )* 2. Ts . . - k.ss ( ) k=-. .. = = 2. Ts 1 2. X(. -. ') -. .. . . ' - k.ss ( ) k=-. .. d. ' = = 1 Ts 1 2. X . - k.ss ( ) k=-. .. = 1 Ts 1 2. X . - 2k. Ts . . . . . . k=-. .. Konvolúció; Parseval tétele f (t )* g(t ) = f (t ) -. .. g(t -. )d. F(. )e2. i.t d. G(. ')e2. i. '(t-. ) d. ' -. .. -. .. . . .. . . .. -. .. d. F f (t )g(t -. )d. -. .. . . . . . . = F(. )G(. ) F( f (t )g(t )) = F(. )G(. -. ) -. .. d. Ablakolás FFT négyszögablak esetén Ablakolás Ablakolás Kifolyás Sztochasztikus jelek, véletlen folyamatok A jelet általában véletlen folyamatként foghatjuk fel .. A jel általában véletlen folyamat: .. x(.,t) véletlen folyamat, ahol . jelöli a folyamat egy realizációját, s minden .i realizációhoz tartozik egy x(.i ,t) függvény, azaz időfüggvények halmaza, ha az i rögzített, akkor az .i folyamat egy időfüggvény, .. ha t rögzített, akkor az x(.i ,t) a lehetséges állapotokat adja, .. ha mindkettő rögzített, akkor x egy véletlen szám 4/7/13 62 Véletlen folyamatok .. Random-walk, véletlen kóborlás .. Brown-mozgás, a molekulák, részecskék hőmozgása .. Poisson-folyamat: sörét-zaj, izotópok bomlása időben, földrengések kipattanása időben 4/7/13 63 Random walk – kóbolás; Brown-mozgás, 4/7/13 64 Véletlen kóborlás részecske egy közegben A véletlen folyamat jellemzői .. Eloszlásfüggvény (elsőrendű) F(x,t)=P{x(t) . x} • Sűrűségfüggvény (az eloszlásfüggvény x szerinti első deriváltja) • Várható érték: • Szórás: 4/7/13 65 Másodrendű eloszlásfüggvény F(x1,x2,t1,t2)=P{x(t1) . x1; x(t2) . x2 } µ = E{x} = xp(x) -. .. dx . 2 = E (x -µ){ 2} = (x -µ)2 p(x) -. .. dx Autókorrelációs függvény és tulajdonságai 4/7/13 66 szimmetrikus Hermite Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség Egy függvény, amelynek .=0 pontban biztosan maximuma van és az egyenlő a jelteljesítménnyel, vagy másképp a várható érték négyzetével, hiszen a jelet szorozzuk önmagával. Ha a várható érték négyzetével normalizáljuk, azaz elosztjuk, akkor .=0 értéknél R=1 (normalizált). 4/7/13 67 .. Ergodicitás: a jellemzők előállíthatók időátlagként .. Stacionaritás: idő-intervallum eltolással szembeni invariancia A véletlen folyamat jellemzői µ. = lim T›. 1 T x(t )dt 0 T . .. 2 = lim T›. 1 T (x(t )- µ. )2 dt 0 T . Az autokorrelációs függvény autospektrum .. Autokorrelációs függvény (ACF) az autospektrum inverz Fourier-transzformáltja .. autospektrum (APSD) az autokorrelációs függvény Fourier-transzformáltja .. A keresztkorrelációs függvény és a keresztspektrum meghatározása, értelme ugyanez, csak két különféle jelre vonatkozik 4/7/13 68 Poisson folyamat és eloszlásfüggvénye 4/7/13 69 Véletlen időpontokban bekövetkező események száma t t+. idő N Fehér-zaj (folytonos, de nem korrelált) 4/7/13 70 Fehér-zaj 4/7/13 71 Folyamatos véletlen folyamat, w(t), fehér-zaj, ha a várható érték ACF egy delta-függvény, azaz a jel nem hasonlít önmagára egyetlen későbbi vagy korábbi időpontban Az APSD konstans, egyenlő a jel várható érték négyzetével Autokorreláció: elveszik a fázis információ, ezért irreverzibilis művelet 4/7/13 72 = = Mit mutat az autokorrelációs függvény .. A jel önmagával, vagy két jel egymáshoz való hasonlóságát mutatja, .. azaz a jelen pillanatból a következő, vagy épp egy meghatározott . időtartam utáni értéke megjósolható-e .. Ha csak a .=0 esetén nem nulla, akkor fehér zaj, vagy korrelálatlan folyamat 4/7/13 73 Mit mutat a keresztkorrelációs függvény .. A keresztkorrelációs függvény két jel egymáshoz való hasonlóságát mutatja az egymástól vett . időeltolás függvényében .. Repülési vagy transzport idő meghatározása: . Áramlási vagy transzport idő mérése áramló közegben, csővezetékekben, csatornákban, pl. turbulens hőmérséklet fluktuációk keresztkorrelációs függvényének meghatározásával; alkalmazható még radioaktív anyag koncentráció turbulens fluktuációja mérésével transzport-idő meghatározására. 4/7/13 74 Példa a keresztspektrum fázisából nyerhető információra .. Térbeli lengő mozgást végző test (reaktor-akna) vizsgálata 4/7/13 75 1 érzékelő 2 érzékelő 3 Az 1 és 2 érzékelő jelei keresztspektrumának fázisa mutatja, hogy az ingamozgás miatt ellenfázis van Hiba, ami lehet repedés, szivárgás, stb. helyének meghatározása .. Három érzékelő szükséges .. Repülési időket állapítunk meg például a keresztkorrelációs függvényből . 1 és 2 detektor jele között . 1 és 3 detektor jele között . 2 és 3 detektor jele között .. Háromszögelés technikája, ismert a detektorok közötti távolság, ismert a repülési idő, ismert a hangsebesség, három ismeretlen van - a forrás és a három detektor közötti távolság 4/7/13 76 4/7/13 77 4/7/13 78 A burst-jel beérkezése időeltolódással a két érzékelőhöz 4/7/13 79 A jel, az autókorrelációs függvény és az autóspektrum (APSD) harmonikus harmonikus felharmonikusokkal véletlen folyamat fehér-zaj A DINAMIKAI RENDSZER VÁLASZA Jelátvitel A jel átvitele .. Átviteli függvény megadása Y(s) = H(s)X(s) .. Időben folyamatos jel - Laplacetranszformáció, diszkrét jel - Ztranszformáció 4/7/13 82 H(z) = Y(z) / X(z) A jel átvitele H(s) átviteli függvénnyel leírható lineáris rendszer válasza Y, valamely gerjesztésre X, ha a jel stacionárius és ergodikus : Y(s) = H(s)X(s) Y(s) Y(s)* = H(s)X(s) Y(s) * APSDY(i.)=H (i.)CPSDXY(i .) a válasz autokorrelációs függvénye= átviteli függvény*a gerjesztés és a válasz keresztkorrelációs függvénye APSDY(i.)=|H (i.)| APSDx(i .) a válasz autokorrelációs függvénye= átviteli függvény abszulót értéke*a gerjesztés autkorrelációs függvénye (felírás Laplace vagy Fourier transzformáltakkal) 4/7/13 83 A jel átvitele Ha az input fehér-zaj, akkor az input APSD konstans (ha normalizáljuk akkor 1) minden frekvencián: APSDY(i.)=|H (i.)| APSDx(i .) az átviteli függvény magnitúdója egyszerűen meghatározható a kimenő jel autóspektrumának meghatározásával. Ezért jó az szerkezetek dinamikai vizsgálatára a kalapácsos gerjesztés. 4/7/13 84 A jel szűrése .. Tudni kell, milyen szűrőre van szükség: . Aluláteresztő (low-pass) a nem kívánt magasfrekvenciás zajok kiszűrésére . Felüláteresztő (high-pass) a nem kívánt alacsony-frekvenciás zajok kiszűrésére . . Sávszűrő (band-pass) bizonyos frekvenciatartomány áteresztésére. .. Szűrő-jellemzése: . Átviteli függvény . Z-transzformáció 4/7/13 85 kimenő átviteli bemenő függvény 4/7/13 86 vágási amplitúdó frekvencia fázis Aluláteresztő szűrő jellemzői Sávszélesség 4/7/13 87 sávszélesség alsó közép határ felső határ A jel átvitele .. Átviteli függvény megadása Y(s) = H(s)X(s) Kimenő jel= átviteli függvény * bemenő jel .. Időben folyamatos jel - Laplacetranszformáció, diszkrét jel - Ztranszformáció 4/7/13 88 H(z) = Y(z) / X(z) A jel átvitele a frekvencia domainben 4/7/13 89 abszolút érték fázis 4/7/13 90 A dinamikai rendszer vizsgálata 4/7/13 91 Milyen gyakorlati feladatokat lehet megoldani? .. Egy dinamikai rendszer „átviteli függvénye” lényegében a rendszer dinamikai viselkedését írja le, tehát nem más, mint a rendszer maga, lásd, pl. az egytömegű lengő rendszer dinamikáját .. saját vagy rezonancia frekvencia, válasz amplitúdó a frekvencia (dimenziómentes, a rezonancia-frekvenciára normált), a csillapítás függvényében, ugyanez a fázisra; .. Mi a diagnosztika? A mechanikai rendszer megváltozásának észlelése. Ez a rendszer valamilyen mérhető gerjesztésre adott válaszából határozható meg. A rendszer változása dinamikai szempontból a merevség, a tömeg, a peremfeltételek megváltozását jelenti (bonyolult lengő rendszerek esetében még a belső kapcsolatok megváltozását is). 4/7/13 92 Hogyan határozhatjuk meg a mechanikai rendszer jellemzőit? .. Sajátfrekvenciák: . Gerjesztés: .. Diszkrét sinus gerjesztés, frekvencia léptetéssel .. Sine-sweep .. Fehér-zaj . Válasz APSD .. Csillapítás: .. Gerjesztés után a magára hagyott rendszer válasz amplitúdó lecsengéséből (logaritmikus dekrementum) .. Sokszabadságfokú rendszer, kísérleti modálanalízis 4/7/13 93 4/7/13 94 Egytömegű lengő rendszer nagyítás, vagy rezonanciafüggvénye a sajátfrekvencia normált dimenziómentes frekvencia és a csillapítás függvényében 4/7/13 95 Egytömegű lengő rendszer rezonancia függvény fázisszöge a sajátfrekvencia normált dimenziómentes frekvencia és a csillapítás függvényében 4/7/13 96 Egy gerjesztővel történő mérés, a szerkezet dinamikai tulajdonságainak meghatározása Erő-gerjesztés gyorsulásválasz 4/7/13 97 Példa: szabad rúd Első módus Második módus Harmadik módus gerjesztő 4/7/13 98 Az elmozdulás a különböző módusok (saját alakok) esetében Példa: szabad rúd 4/7/13 99 Példa: szabad rúd Mérés zajos környezetben .. Zajos környezetben vagy épp zajgerjesztés esetén a rendszer dinamikai tulajdonságait a válasz autospektrumából (célszerűen fehér-zaj gerjesztés setén), vagy a gerjesztés és a válasz keresztspektrumból lehet meghatározni, s nem a gerjesztés és a válasz idő vagy frekvencia térben való közvetlen vizsgálatából, mint ahogy azt analitikusan felírhatjuk. 4/7/13 100 A ZAJOS SPEKTRUM FELDOLGOZÁSA Egy fogaskerék pár rezgésspektruma 4/7/13 102 Cepstrum .. A cepstrum (kiejtés "kepstrum") a spektrum Fouriertranszformáltja, amely kimutatja, hogy a spektrumban (mintegy véletlen jelben) vannak-e meghatározó frekvenciák. Megfeleltetés és szótár: • "frequency" › "quefrency" • "magnitude" › "gamnitude" • "convolution" › "novcolution" • "phase" › "saphe" • "filter" › "lifter" Tukey, J. W., B. P. Bogert and M. J. R. Healy: "The frequency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, crosscepstrum, and saphe-cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley. 4/7/13 103 Cepstrum - kimutatja a periodicitást a spektrumban 4/7/13 104